ALJABAR

http://www.mediafire.com/view/?5234q0vusw0nx4z

ALJABAR

A.      Faktor, Suku,  Suku Sejenis, dan Konstanta

1.    Faktor dan Koefisien

Faktor adalah bilangan yang membagi habis suatu bilangan lain atau suatu hasil kali. Contohnya :

·      2 x 3 x 5, memiliki faktor 2, 3, 5

·      (2x – 5) (3x + 15) memiliki faktor (2x – 5) dan (3x + 15)

Koefisien adalah faktor angka pada suatu hasil kali dengan suatu peubah. Koefisien yang nilainya sama dengan 1 tidak harus ditulis. Misalnya 1x + 1y + 1z cukup ditulis x + y + z. Contoh dari koefisien yaitu :

·      2x² + 5x – 6, 2 adalah koefisien dari x², sedangkan 5 adalah koefisien dari x.

·      , koefisien x adalah , sedangkan koefisien y adalah -.

2.    Suku, Suku Sejenis, dan Suku Tidak Sejenis

Suku banyak (polinom) adalah bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku atau lebih. Dua suku disebut binom, tiga suku disebut trinom, dan seterusnya. Bentuk aljabar yang hanya mempunyai satu suku disebut suku tunggal. Contohnya :

·      2a + 7 terdiri dari dua suku, yaitu 2a dan 7,

·      ax² + bx + c terdiri dari tiga suku, yaitu ax², bx, dan c

·      6a – 5b – 3c + 4 terdiri dari empat suku, yaitu 6a, -5b, -3c, dan 4

Suku-suku dikatakan sejenis, bila memuat peubah dan pangkat dari peubah yang sama. Sebaliknya, jika berbeda maka disebut suku-suku yang tidak sejenis. Contohnya ;

·      3p + 2p, suku – sukunya sejenis

·      7p² – 4p², suku – sukunya sejenis

·      2p + 3q, suku – sukunya tak sejenis

·      3p – 8, suku – sukunya tak sejenis

3.    Konstanta

Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu (bilangan konstanta/tetap). Variabel (peubah) adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan unsur tak tentu dalam suatu himpunan. Contoh dari konstanta yaitu :

Pada bentuk 2x² + 5x – 6, suku -6 merupakan konstanta. Demikian juga pada bentuk  = 10, suku 10 merupakan konstanta. Sedangkan x dan y merupakan variabel / peubah yang dapat mewakili sembarang bilangan.

B.       Perkalian, Pemangkatan, dan Pembagian Suku Tunggal

1.      Perkalian

2.      Pemangkatan

Untuk sembarang bilangan a, a² = a x a sehingga dapat dijabarkan pengertian berikut.

           b² = b x b                                 -b² = -(b x b)

           (-b)² = (-b) x (-b)                     (2b)² = 2b x 2b

3.      Pembagian

Hasil pembagian dua bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor atau variabel-variabel yang sama.

Contoh : 5a : a = 5                             faktor yang sama adalah a

               8xy : 4y = 2x                       faktor yang sama adalah 4y

4.      Dasar-Dasar perkalian dalam Aljabar

Dalam menjabarkan bentuk perkalian, perlu diingat hal-hal berikut ini :

a.      a x b = ab                                                            c. 1 x a = a

b x a = ab                                                    b x 1 = b

b.      a x a = a²                                                                  d. a x ab = a²b

a x a x a = a³                                                b x ab = ab²

a² x a² = a⁴                                                   ab x ab = a²b²

C.      Penjumlahan dan Pengurangan Suku Sejenis

1.      Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Suku-suku sejenis memiliki variabel-variabel yang sama, dan pangkat yang sama untuk tiap-tiap variabel yang sama itu. Dengan demikian, suku-suku yang sejenis hanya berbeda pada koefisiennya. Contoh : 2a²bc³, -5a²bc³, dan 6a²bc³ adalah suku-suku sejenis.

Suatu bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang sejenis dengan menggunakan prinsip-prinsip hukum distributif.

Contoh : 5a + 4a = 9a

               8ab – 3ab = 5ab

Pada pengurangan, a dikurangkan dari b artinya b – a. contoh ; 7x dikurangkan 4x = 4x – 7x = -3x.

Dalam menyederhanakan bentuk aljabar, perlu diingat bahwa untuk sembarang bilangan positif p dan q,berlaku :

1)   p x (-q) = -pq

2)   (-p) x (q) = -pq

3)   (-p) x (-q) = pq

2.      Substitusi Bilangan pada Bentuk Aljabar

Suatu bentuk aljabar dapat ditentukan nilainya jika variabel-variabel (huruf-huruf) dari bentuk aljabar diganti (disubstitusi) dengan bilangan yang ditentukan. Contoh :

jika a = 3 dan b = -4, maka 5a – ab = 5 x 3 – 3 x (-4)

                                                         = 15 + 12

                                                         = 27

3.      Penggunaan Hukum Distribusi

a.    Perkalian suatu bilangan dengan suatu bentuk aljabar dapat dinyatakan sebagai jumlah atau selisih dengan menggunakan hukum distributif. Contoh :

-2(3a – 4b) = -6a + 8b

   Perkalian       Penjumlahan

b.      Suku-suku yang sejenis dapat disederhanakan dengan menggunakan hukum distributif.

Contoh:

3a – 8a      = (3 – 8)a

                 = -5a

-7x² – 9x² = (-7 – 9)x²

                 = -16x²

c.       Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan suku-suku disebut menjabarkan. Menjabarkan bentuk perkalian pada bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan skema berikut ini.

x (x + a) = x² + ax

x (x + a + b) = x² + ax + bx

D.      KPK dan FPB

a.    Menentukan KPK dan FPB dari Bentuk-Bentuk Aljabar Suku Tunggal

Sebelum menentukan KPK dan FPB dari bentuk-bentuk aljabar suku tunggal, maka harus dapat menguraikannya menjadi faktor-faktor (faktorisasi). Faktorisasi dilakukan untuk menerangkan operasi bilangan, sehingga dapat mempermudah suatu penyelesaian.

1)   Faktorisasi prima Bentuk Aljabar

Faktor prima adalah menyatakan suatu bilangan ke dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima. Contoh :

ü 12 = 4 x 3 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3

     Faktorisasi prima

ü 18ab² = 2 x 9 x a x b² = 2 x 3² x a x b²

                                     Faktorisasi prima

2)   Menentukan KPK

Kelipatan adalah bilangan hasil penggandaan dari bilangan yang lain. Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih. KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) adalah kelipatan persekutuan dari dua bilanagn atau lebih yang nilainya paling kecil. Contoh :

KPK dari 12a dan 18a²

Jawab : 12a = 2² x 3 x a

 18a² = 2 x 3² x a²

KPK = 2² x 3² x a² = 4 x 9 x a² = 36a²

3)   Menentukan FPB

Faktor persekutuan adalah faktor hasil kali yang sama dari dua bilangan atau lebih. FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) adalah faktor persekutuan dari dua bilangan atau lebih yang nilainya paling besar. Contohnya :

FPB dari 6a², 8ab, dan 12a³b²

Jawab :  6a²             = 2 x 3 x a²

              8ab            = 2³ x a x b

              12a³b²       = 2² x 3 x a³ x b²

FPB          = 2 x a = 2a

E.       Pecahan Bentuk Aljabar

1.      Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Pada bahasan bilangan pecahan telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnya. Hal ini juga berlaku pecahan-pecahan bentuk aljabar.

Contoh :  =

=

2.      Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

a.      Perkalian

Pada bahasan bilangan pecahan telah dipelajari bahwa hasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Hal ini juga berlaku untuk perkalian pecahan bentuk aljabar. Contoh :  =

b.      Pembagian

Membagi dengan suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikan pecahan tersebut. Contoh :  

3.      Pemangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Pada bilangan bulat berlaku :

          aⁿ = a x a x a x a x . . . x a

                              n faktor

maka pada pecahan aljabar juga berlaku :

         

                             n faktor

F.       Perkalian Istimewa Bentuk Aljabar

1.      Perkalian Suku Dua

a.      Dengan menggunakan hukum distributif

(a + b) (c + d) = a(c + d) + b(c + d)

(a – b) (c + d) = a(c + d) – b(c + d)

b.      Dengan menggunakan skema

1)  

2

1

Perkalian dua suku dua

(x + a) (x + b) = x² + bx + ax + ab

4

3

                  

Langkah 2 disebut perkalian suku luar

Langkah 3 disebut perkalian suku dalam

2)   Perkalian suku dua dengan suku tiga

(x + a) (x + y – b) = x² + xy – bx + ax + ay - ab

2.      Penguadratan Suku Dua

Pengkuadratkan suku dua dapat menggunakn rumus berikut :

           (a + b)² = a² + 2ab + b²

           (a – b)² = a² – 2ab + b²

G.      Penggunaan Operasi Aljabar dalam Kehidupan

Untuk menyelesaikan soal-soal dalam kehidupan sehari-hari yang berbentuk cerita, langkah-langkah berikut dapat membantu mempermudah penyelesaiannya.

1.      Jika memerlukan sketsa, misalnya untuk soal yang berhubungan dengan geometri, buatlah sketsa dari soal tersebut.

2.      Menterjemahkan soal cerita menjadi bentuk kalimat matematika (dalam bentuk aljabar).

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1.      Tentukan suku-suku sejenis, konstanta, dan koefisien dari x dari suku banyak berikut ini!

a.      

b.     

Jawab:

a.       Suku suku sejenis = 6xy dan -3xy

Konstanta = 41

Koefisien dari x = 5

b.      Suku-suku sejenis = 7y dan -15y

Konstanta = 2

Koefisien dari x = 3

2.      Nyatakan bentuk perkalian berikut sebagai jumlah atau selisih!

a.      

b.     

c.      

Jawab:

a.      

b.     

c.      

3.      Tentukan KPK dan FPB dari

Jawab:

KPK dari

FPB dari

4.      Sederhanakanlah bentuk pecahan

Jawab:

5.      Panjang sisi-sisi suatu segitiga adlh y cm, 2y cm, dan (y+4) cm.

a.       Tentukan keliling segitiga tersebut yang dinyatakan dalam y!

b.      Jika y = 6, hitunglah kelilingnya!

Jawab:

a.       Keliling = y + 2y + (y+4)

= (4y +4) cm.

b.      Keliling = 4y+4

= 4(6) + 4

= 24 + 4

= 28 cm.

LATIHAN SOAL

1.    Sederhanakanlah !

a.       5p² + 7p + 3p²

b.      3(2p - 5) – 2(3 - 4p)

c.       P³ P⁷

d.      -4a³m  2ab  5a⁴b²m⁴

e.      

2.    Jumlahkan !

a.       5(2a – 3b + c) + 4 (3a + b – 2c) = .............

b.       (8x + 4) +  (4x – 8) = ........

3.    Kurangkan !

a.       2(2a – 3b + 4) – 3(a + 4b - 8)

b.      5(a² + 2a – 30) – 7(2a² + a + 4)

4.    Bila p = 3a + 2b dan q = a – 3b maka. Hitunglah operasi berikut !

a.       5p – 2q

b.     

5.    Tentukan KPK dari kelompok bilangan berikut!

a.       12a dan 18a²

b.      6a², 8ab, dan 12a³b²

6.    Tentukan FPB dari kelompok bilangan berikut!

a.       24a dan 36ab

b.      75a³b⁴ dan 125a⁵b²

7.    Hitunglah !

a.      

b.     

8.    Jabarkan perkalian berikut !

a.       (x + 10) (-5 – x)

b.      (8 + x) (9 + x)

9.        Jabarkan bentuk kuadrat berikut !

a.       (5kp – 6m)² = ......

b.      (3x – 2)² = .....

10.    Panjang suatu persegi panjang adalah ( 2x – 1) cm dan lebarnya ( x + 2 ) cm.

a.       Tentukan kelilingnya dinyatakan dalam x!

b.      Jika kelilingnya 50 cm, tentukan nilai x!

c.       Tentukan panjang dan lebarnya!